Apolonio PRC.

Este caso lo vamos a resolver en tres fases utilizando una inversión:

 

06PRCe

Fase 1: Invertir con centro en el punto A los elementos r y c. De esta manera r se transformará en un circunferencia c' y si utilizamos como constante de la inversión la potencia que tenga el punto A respecto de c, esta se transformará en si misma (muy cómodo).

 

logoggb2peq

 

Fase 2: Trazar las rectas tangentes (t'n) a las circunferencias c' y r'. En el caso general habrá dos exteriores y dos interiores.

 

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Fase 3: Invertir todos los elementos con la misma constante utilizada en la fase 1. Las inversas de c' y r', lógicamente, serán los datos iniciales c y r. Las inversas de las rectas tangentes (c1 es la inversa de t'1) seguirán siendo tangentes a las inversas de las circunferencias c' y r' (o sea a los datos iniciales del problema c y r). Esto se debe a que en las inversiones se mantienen los ángulos antes y después de la operación.

 

logoggb2peq

 

Casos particulares:

 

A pertenece a r.

 

Se puede definir una inversión que transforme la circunferencia c en la recta r y viceversa. Para que esto ocurra el centro de la inversión ha de estar en:

  • La circunferencia (para que la circunferencia se pueda transformar en recta)
  • En una perpendicular a la recta que pase por el centro de la circunferencia para que se pueda transformar una en otra.

Si la circunferencia solución debe pasar por A, su inversa pasará por A' (que se determina con la recta AOinv1).

Este problema (AA'r) es el caso particular ya visto de PPR, donde uno de los puntos está en la recta.

La segunda solución proviene de una inversión negativa de centro Oinv2 que se resuelve como el· caso anterior.

 
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A pertenece a c.

 
Fijaros que este caso se soluciona de la misma manera que el anterior; la única consideración a tener en cuenta es que ahora el punto se sitúa en la circunferencia y su inverso estará en la recta.  
  logoggb2peq

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Comentarios  

# Joaquín 31-03-2019 18:27
Buenas, me gustaría saber todas las soluciones de los problemas de apolonio,ya que sólo se muestra una
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# Luis Pérez Vega 31-03-2019 21:12
Este caso de Apolonio tiene un máximo de cuatro soluciones.
En la fase 2 se ha trazado y resuelto partiendo de una tangente exterior (recta verde). Como comento en este apartado, se pueden trazar hasta cuatro tangentes a dos circunferencias. Las tres soluciones que faltan provienen de la otra tangente exterior y de las dos interiores.
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